🌀Calculadora de Números Complexos (a+bi)
Digite dois números complexos no formato a + bi e escolha a operação: soma, subtração, multiplicação, divisão pelo conjugado ou módulo. O resultado aparece em fração exata, em decimal e com o módulo, acompanhado de cada passo da conta.
Aceita 3+2i, 1-i, 4i, -i e decimais com vírgula (0,5+2,5i). A conta roda no seu navegador.
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Fonte: Números complexos — forma algébrica, conjugado e módulo — álgebra complexa de ensino médio e 1º ano de engenharia · Última verificação em 07/10/2026
Números complexos têm parte real e imaginária, no formato a + bi, com a regra i² = −1. A soma junta partes iguais, a multiplicação distribui, e a divisão multiplica pelo conjugado do denominador. De (3 + 2i) ÷ (1 − i) sai 0,5 + 2,5i, sempre com fração exata no meio da conta.
Como usar a calculadora de números complexos
- Escolha a operaçãoSoma e subtração trabalham as partes separadas; multiplicação e divisão usam a distributiva com a regra i² = −1; o módulo calcula apenas o tamanho do primeiro número.
- Digite os dois númerosO formato aceito é a + bi, com a parte real primeiro: 3+2i, 1-i, 4i, -i ou 3. Aceita também vírgula decimal, como 0,5+2,5i, e espaços entre os termos são ignorados.
- Confira fração e decimalO resultado aparece em fração exata (1/2 + 5/2i), na forma decimal (0,5 + 2,5i) e com o módulo. A área de fórmula detalha cada produto e cada divisão usada.
Como funciona o cálculo
Um número complexo tem a forma a + bi, em que a é a parte real e b a parte imaginária. A única regra que sustenta toda a álgebra é i² = −1, ou seja, i × i equivale a menos um. Com ela, soma e subtração se resumem a juntar partes iguais: soma-se a com a e b com b.
Na multiplicação, aplica-se a distributiva como em dois binômios: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi². Como i² = −1, o termo bdi² vira −bd, e o resultado se agrupa em (ac − bd) + (ad + bc)i. O produto não é apenas a soma das partes multiplicadas separadas — esse é o erro mais comum de quem está começando.
A divisão é a operação que merece atenção. Não se divide partes isoladas: multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é c − di quando o divisor é c + di. O produto (c + di)(c − di) resulta em c² + d², um número real, e a fração complexa vira um numerador complexo sobre um denominador real.
O módulo mede a distância do número até a origem no plano complexo: |a + bi| = √(a² + b²), pelo teorema de Pitágoras.
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i · i² = −1
(a + bi) ÷ (c + di) = (a + bi)(c − di) ÷ (c² + d²)
|a + bi| = √(a² + b²)
Exemplo resolvido: quatro operações
Soma: (3 + 2i) + (1 − i) = (3 + 1) + (2 − 1)i = 4 + i. Subtração: (3 + 2i) − (1 − i) = (3 − 1) + (2 − (−1))i = 2 + 3i, cuidando de virar o sinal da parte imaginária do subtraído.
Multiplicação: (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i² = 3 + 10i − 8 = −5 + 10i. Repare que o 8i² virou −8 por causa da regra i² = −1.
Divisão: (3 + 2i) ÷ (1 − i). Multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado (1 + i): o denominador dá (1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 2. O numerador dá (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i − 2 = 1 + 5i. Logo o resultado é (1 + 5i) ÷ 2 = 0,5 + 2,5i, ou em fração 1/2 + 5/2i.
Módulo: |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √25 = 5. É o mesmo 3-4-5 do teorema de Pitágoras.
Suposições e limitações
- Os números devem estar no formato a + bi, com a parte real antes da imaginária; formas como 2i+3 não são interpretadas
- A saída exata usa frações: inputs inteiros ou com decimal curto mantêm o resultado sem erro de arredondamento
- Decimais são aceitos com até 6 casas; entradas mais longas não são convertidas em fração
- A divisão exige divisor diferente de zero: 0 + 0i gera aviso de erro, como em qualquer aritmética
- Processamento 100% local: nada sai do navegador e nada do que você digita sai do computador
Dicas para tirar o melhor proveito
Guarde o padrão da divisão: multiplicar pelo conjugado é o único caminho para tirar o i do denominador. Se o resultado tiver i embaixo, algo ficou pendente — ou o conjugado não foi trocado de sinal, ou o produto (c + di)(c − di) não foi simplificado até virar c² + d².
Uma boa forma de conferir a multiplicação é testar casos especiais: qualquer número vezes i gira 90°, e multiplicar por −i gira no sentido contrário. Se o resultado do seu produto parece sem relação com esse giro, vale recalcular.
Na engenharia elétrica e nos sinais, quase tudo é escrito em módulo e ângulo: a parte real e a imaginária descrevem a mesma informação de outro jeito. Use o módulo para medir a amplitude e arctg(b/a) para o ângulo — mas cuidado com o quadrante, pois a calculadora trigonométrica do site ajuda a conferir o ângulo final.
Quando trabalhar com frações, mantenha os valores exatos o máximo possível: arredondar no meio da conta acumula erro, e é justamente por isso que esta ferramenta devolve fração antes do decimal.
Erros comuns a evitar
O erro número um é esquecer i² = −1 na multiplicação. Se você deixar 8i² como 8i² sem transformar em −8, o resultado sai com uma parte imaginária que nem existe. O segundo erro é somar as partes cruzadas na multiplicação, tratando (1 + 2i)(3 + 4i) como 3 + 8i — falta aplicar a distributiva inteira.
Na divisão, o deslize típico é dividir cada parte por cada parte: (3 + 2i) ÷ (1 − i) não dá 3 − 2i. Só o multiplicar pelo conjugado elimina o i do denominador. Outro detalhe: o conjugado troca apenas o sinal da parte imaginária — o 1 − i vira 1 + i, e não −1 + i.
Cuidado também com o sinal na subtração: (3 + 2i) − (1 − i) exige virar o sinal de todo o segundo número, resultando em 2 + 3i e não 2 + i. E, ao ler o resultado decimal, lembre que 0,5 + 2,5i é a mesma coisa que 1/2 + 5/2i: representações diferentes de um único número.
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Como somar e subtrair números complexos?
Some ou subtraia as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si: (3 + 2i) + (1 − i) = 4 + i. Na subtração, atenção ao virar o sinal de todo o segundo número.
Como dividir números complexos?
Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Em (3 + 2i) ÷ (1 − i), multiplica-se por (1 + i): o denominador vira 2 e o numerador vira 1 + 5i, resultando em 0,5 + 2,5i.
O que é o conjugado de um número complexo?
É o mesmo número com o sinal da parte imaginária trocado: o conjugado de 1 − i é 1 + i. Multiplicar um número pelo seu conjugado elimina a parte imaginária e dá a² + b².
Como calcular o módulo de um número complexo?
Use |a + bi| = √(a² + b²), como no teorema de Pitágoras. O módulo de 3 + 4i é √(9 + 16) = √25 = 5, e representa a distância do ponto até a origem no plano complexo.
O que significa i ao quadrado ser menos um?
É a definição da unidade imaginária: i = √−1, portanto i × i = −1. Essa regra permite reduzir qualquer potência de i e transformar produtos complexos em um número da forma a + bi.
A calculadora aceita decimais nos números complexos?
Sim, desde que a parte real venha antes da imaginária: 0,5+2,5i é aceito. Valores com até 6 casas decimais são convertidos em fração exata, evitando erro de arredondamento no meio da conta.
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