🔢Calculadora de Análise Combinatória: Permutação, Arranjo e Combinação
Calcule permutação simples P(n), arranjo simples A(n,p) e combinação simples C(n,p) com fatorial exato em BigInt. O resultado sai com separador de milhar e a fórmula aparece com os valores substituídos — e todo o processamento é 100% local, nada sai do navegador.
Permutação simples ordena todos os n elementos: P(n) = n! Ex.: P(5) = 5! = 120.
Arranjo simples escolhe p elementos e importa a ordem: A(n,p) = n!/(n−p)! Ex.: A(5,3) = 60.
Combinação simples escolhe p elementos sem importar a ordem: C(n,p) = n!/(p!·(n−p)!). Ex.: C(5,3) = 10.
🔒 Cálculo 100% local — os dados que você digita não saem do seu navegador, nada é enviado a servidores.
Fonte: Matemática do ensino médio — análise combinatória e probabilidade — fórmulas clássicas de P(n), A(n,p) e C(n,p) com fatorial · Última verificação em 07/10/2026
A análise combinatória conta quantas formas existem de organizar ou escolher elementos. A permutação simples ordena todos os n elementos, P(n) = n!. O arranjo simples escolhe p elementos considerando a ordem, A(n,p) = n!/(n−p)!. A combinação simples escolhe p elementos sem ordem, C(n,p) = n!/(p!·(n−p)!).
Como usar a calculadora de análise combinatória
- Escolha o modoPermutação simples ordena todos os elementos, arranjo simples escolhe e ordena, e combinação simples escolhe sem importar a ordem.
- Informe n e pn é o total de elementos disponíveis e p quantos serão escolhidos. A ferramenta exige n maior ou igual a p, ambos maiores ou iguais a zero, e avisa na área de erro se isso não for respeitado.
- Leia o resultadoO valor exato aparece com separador de milhar em pt-BR, e a fórmula com os números substituídos fica logo abaixo, mostrando cada etapa da conta para você conferir.
Como funciona cada cálculo
A análise combinatória é a parte da matemática que conta possibilidades sem listá-las uma a uma. A permutação simples P(n) conta quantas ordens existem para n elementos distintos: basta multiplicar n × (n−1) × ... × 1, que é o fatorial de n. O arranjo simples A(n,p) escolhe p desses elementos e considera a ordem, por isso divide n! por (n−p)!, descartando os elementos que ficaram de fora. A combinação simples C(n,p) também escolhe p elementos, mas ignora a ordem, então divide ainda por p! para eliminar as repetições das mesmas escolhas em sequências diferentes.
Por isso C(n,p) é sempre menor ou igual a A(n,p), e vale a relação C(n,p) = C(n, n−p), que ajuda a simplificar contas com p grande: escolher 47 de 50 é o mesmo que escolher 3 de 50, bem mais rápido de calcular.
Exemplo resolvido
Arranjo: quantos pódios distintos existem em uma corrida com 8 atletas, considerando os 3 primeiros lugares? Como a ordem importa, usa-se A(8,3) = 8!/(8−3)! = 8!/5! = 40.320/120 = 336 pódios possíveis. Não é preciso calcular o fatorial inteiro: 8!/5! = 8 × 7 × 6 = 336, um atalho que a calculadora também mostra na conta passo a passo.
Combinação: quantos times de 3 jogadores podem ser formados com os mesmos 8 atletas? Agora a ordem não importa, então C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 336/6 = 56 times. A diferença entre 336 e 56 mostra o efeito da ordem: cada time de 3 aparece em 3! = 6 ordens diferentes no arranjo, e 336 ÷ 6 = 56.
Permutação: quantas formas existem de organizar 4 livros distintos numa estante? P(4) = 4! = 24 ordens diferentes — o primeiro lugar tem 4 opções, o segundo 3, o terceiro 2 e o último 1, e 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Suposições e limitações
- Os elementos são distintos e sem repetição: a fórmula clássica não conta casos com itens iguais
- Vale n ≥ p ≥ 0; a ferramenta avisa se p superar n ou se algum valor for negativo
- Os resultados são exatos (BigInt), sem arredondamento, até n = 5.000 para manter a resposta instantânea
- Permutação com repetição (n!/(n1!·n2!·...)) e arranjo com repetição (n^p) não estão neste modo
- O cálculo roda 100% no navegador; nada do que você digita sai do seu aparelho
Dicas para tirar o melhor proveito
Em provas e concursos, identifique primeiro se a ordem importa. Se o enunciado falar de comissões, grupos ou seleções, é combinação; se falar de pódios, filas ou classificações, é arranjo; se for quantas formas de organizar tudo, é permutação. Essa leitura evita o erro mais comum, que é usar arranjo onde o problema pede combinação.
Para p grande, use a simetria C(n,p) = C(n, n−p): calcular C(100, 97) como C(100, 3) é muito mais simples, porque 100!/(3!·97!) = (100 × 99 × 98)/6 = 161.700. A calculadora mostra a conta passo a passo, e o processamento 100% local garante que até valores grandes apareçam na hora, sem enviar dados a servidores.
Outra dica prática: confira o resultado com um caso pequeno. Antes de confiar em C(20, 10), teste C(5, 2) = 10 com os dedos: são os pares {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5} e {4,5}.
Erros comuns a evitar
O erro mais frequente é confundir arranjo com combinação. Se você usa A(n,p) em um problema de comissão, multiplica o resultado por p! e a resposta fica errada. Outro erro é esquecer que a divisão é exata: C(n,p) nunca dá fração, então um resultado decimal indica conta mal montada. Também é comum calcular n! primeiro e depois dividir, o que gera números gigantes desnecessários — em A(100, 3), basta fazer 100 × 99 × 98.
Cuidado ainda com o fatorial de zero: 0! = 1 por convenção, e isso faz P(0) = 1 e C(n, n) = 1, não zero. Por fim, não confunda sem repetição com com repetição: se o enunciado permite escolher o mesmo elemento mais de uma vez, como senhas de 4 dígitos, a fórmula muda para n^p, e este modo simples não se aplica.
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Qual a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo simples a ordem importa: A(n,p) = n!/(n−p)!. Na combinação simples a ordem não importa: C(n,p) = n!/(p!·(n−p)!). Por isso a combinação divide ainda por p!, eliminando as ordens repetidas da mesma escolha.
Como calcular permutação simples P(n)?
Basta calcular o fatorial de n: P(n) = n! = n × (n−1) × ... × 1. Exemplo: P(5) = 5! = 120 formas de ordenar 5 elementos distintos.
Por que C(n,p) é igual a C(n, n−p)?
Porque escolher p elementos para dentro é o mesmo que escolher os n−p que ficam fora. Assim, C(50, 47) = C(50, 3), bem mais fácil de calcular.
O que é 0! e por que vale 1?
0! = 1 por convenção, para que as fórmulas funcionem nos casos limite: P(0) = 1 (uma única forma de ordenar nada) e C(n, n) = 1 (uma única forma de escolher todos).
A calculadora de análise combinatória aceita números grandes?
Sim, os resultados são exatos em BigInt, sem arredondamento, até n = 5.000. Acima disso o fatorial fica enorme e o cálculo pode ficar lento, por isso o limite protege o navegador.
E se o problema permitir repetição de elementos?
Aí não é o caso simples. Arranjo com repetição vale n^p (ex.: senhas de 4 dígitos têm 10^4 = 10.000 opções), e permutação com repetição divide n! pelos fatoriais das repetições. Use as fórmulas específicas nesses casos.
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